Реферат на тему Написание реферата (Вариант 1- «Системы счисления. Действия с числами в различных системах счисления.», Вариант 2 – «Делимость натуральных чисел, его свойства».)на выбор

Содержание:

Введение. 2

1.Делимость.
Свойства и признаки делимости. 3

2. Алгоритм
Евклида. 9

3. Метод
математической индукции для доказательства делимости. 10

Заключение. 14

Список
использованной литературы.. 15

Введение:

Первые
представления о числе приобретены людьми в незапамятной древности. Они возникли
из счета людей, животных, плодов, различных изделий человека и других предметов.
Результатом счета являются числа один, два, три и т. д., которые называются теперь
натуральными, в арифметике их называют также целыми числами (наименование «целое
число» имеет в математике и более широкий смысл).

Понятие
о натуральном числе является одним из простейших понятий.

Ряд
целых чисел 1, 2, 3, 4, 5, ... называется натуральным рядом. Евклид (3 в. до н.
э.) определял число (натуральное) как множество, составленное из единиц; такого
рода определения можно найти и во многих vчебниках.

На
ранних ступенях развития общества люди почти не умели считат, они отличали друг
от друга совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая
большее число предметов, объединялась в понятии « много» - это был еще не счет,
а лишь его зародыш.

Впоследствии
способность отличать друг от друга небольшие совокупности развивались,
возникали слова для обозначений понятий «четыре», «пять», «шесть», «семь», последнее
слово длительное время обозначало также неопределенно большое количество.

С
развитием математики и счёта количество элементов во множестве чисел росло, возникла
необходимость работы с результатами от деления чисел друг на друга, поэтому для
решения подобных задач существует теория делимости.

Цель данной работы - ознакомиться со
свойствами и признаками делимости чисел.

Задачи: научиться находить наибольший общий делитель пары чисел;
научиться использовать признаки делимости и метод математической индукции для доказательства делимости.

Заключение:

Признаки делимости - метод,
позволяющий определить, делится ли одно число без остатка на другое. Это
вспомогательные инструменты, которые помогают нам проверить множители числа, не
прибегая к делению. Хотя аналогичные правила могут быть установлены для любой
основы, в работе были перечислены только правила для десятичной системы.

Данная
работа была посвящена изучению методов решения задач на делимость, основной целью было изучение признаков
делимости натуральных чисел. Выполняя работу, были сформулированы признаки
делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25,50, убедились в том, что
существуют другие признаки делимости натуральных чисел (на 7, 11, 12, 13, 14,
19, …), познакомились с алгоритмом Эвклида, а также были рассмотрены задачи,
при доказательстве которых использовался метод математической индукции.

Фрагмент текста работы:

1. Делимость. Свойства и признаки делимости

Делимость.
Делитель и частное

Определив
натуральные и целые числа, можем через них дать понятие делимости чисел.

Целое
число делится
на натуральное число (или делит ), если для числа и числа существует такое целое число , что .

Число – делитель числа , делимое – кратное
числа , а число – частное
от деления на , например, целое число – 10 делится на
натуральное число 5, так как для этих двух чисел существует целое число 2,
такое, что При
этом 10 кратное числа 5, 5 – делитель 10, а 2 является частным от деления 10 на
5.

Заметим,
что делимость можно определить по-разному: вместо натурального числа в
определении выше, можно было бы задать как
целое число, однако будем придерживаться определения, введенного ранее, поэтому
часто рассматривают лишь делимость натуральных чисел, хотя по определению
кратное в общем случае является целым числом.

Свойства
делимости

Перечислим
некоторые свойства делимости:

1.
Все целые числа делятся на единицу.

2.
Каждое целое число, неравное нулю, делится на натуральное число равное модулю
от данного целого.

3.
Все натуральные числа являются делителями нуля.

4.
Если целое число делится на натуральное число и
модуль числа меньше

, то равно нулю.

5.
Если целое число отлично от нуля и делится на натуральное
число , то модуль числа не меньше числа 6.
Единственный делитель единицы – сама единица.

7.
Чтобы целое число делилось на натуральное число необходимо и достаточно, чтобы модуль
числа делился на 8.
Пусть целое число делится на натуральное число , а число в
свою очередь делится на натуральное число , тогда делится на (свойство транзитивности деления).

9.
Если натуральные числа делятся друг на друга без остатка, то они равны.

Свойства
делимости удобно использовать при доказательстве теорем и решении задач.

Взаимно
простые числа

Простое
число – это натуральное число, у которого есть лишь два
различающихся натуральных делителя – самого число и единица.

Перечислим
некоторые первые простые числа в порядке их возрастания Любое
натуральное число можно представить в виде произведения простых чисел, это
называется факторизацией натурального числа.

Взаимно
простые числа – два натуральных числа, у которых есть
лишь один общий делитель, единица.

Наибольший
общий делитель.

Наибольший
общий делитель (НОД) чисел –
самое большое из натуральных чисел, которые являются одновременно делителями
натуральных чисел Например,
для чисел 77 и 14 наибольший общий делитель равен 7: НОД (77, 14) = 7.