Платная доработка на тему Вычислительная математика вариант 7

Содержание:

Введение................................................................................................. 4

1. Решение не линейных уравнений...................................................... 6

1.1. Постановка задачи...................................................................... 6

1.2. Отделение корней........................................................................ 7

1.2.1. Метод половинного деления................................................ 7

1.2.2. Графическое отделение
корней............................................ 9

1.3. Итерационные методы
уточнения корней............................... 10

1.3.1. Метод простой итерации.................................................... 10

1.3.2. Метод Ньютона.................................................................. 13

1.3.3. Метод секущих................................................................... 14

1.3.4. Метод хорд......................................................................... 15

1.4. Задача........................................................................................ 17

2. Решение систем нелинейных
уравнений......................................... 27

2.1. Постановка задачи.................................................................... 27

2.2. Метод простой итерации.......................................................... 27

2.2.1. Условия сходимости метода
простой итерации для нелинейных систем уравнений второго порядка.................................................................. 28

2.2.2. Общий случай построения
итерирующих функций......... 30

2.3. Метод Ньютона для систем
двух уравнений........................... 31

2.4. Метод Ньютона для систем n-го порядка с n неизвестными... 32

2.5. Задача........................................................................................ 33

3. Решение систем линейных  алгебраических уравнений (СЛАУ)... 38

3.1. Метод Гаусса............................................................................. 38

3.2. Метод простой итерации.......................................................... 41

3.3. Метод Зейделя........................................................................... 42

3.4. Задача........................................................................................ 43

4. Интерполирование функций
(приближение функций)................... 52

4.1. Интерполяция по Лагранжу..................................................... 52

4.2. Интерполяция по Ньютону....................................................... 52

4.3. Задача........................................................................................ 53

5. Численное интегрирование.
Численное дифференцирование........ 55

5.1. Метод прямоугольников.......................................................... 55

5.2. Метод трапеций......................................................................... 59

5.3. Метод парабол (метод
Симпсона)............................................ 61

5.4. Задача........................................................................................ 63

6. Численное решение обыкновенных
дифференциальных уравнений (ОДУ)........................................................................................................................ 65

6.1.
Метод Эйлера............................................................................ 65

6.2.
Метод Рунге-Кутта.................................................................... 67

6.3. Задача........................................................................................ 68

Заключение........................................................................................... 73

Список
использованных источников 74

Введение:

Вычислительная математика
отличается от других математических дисциплин следующими специфическими
особенностями.

1. Вычислительная математика обычно имеет дело не с
непрерывными, а с дискретными объектами, которыми приближаются непрерывные.
Так, вместо отрезка прямой часто рассматривается система точек (это введенная на
отрезке СЕТКА), вместо непрерывной функции f(х) — табличная функция , вместо первой производной — ее разностная аппроксимация,
например, Такие замены,
естественно, порождают погрешности метода.

Погрешности метода
являются неустранимыми погрешностями.

2. В машинных вычислениях используются числа с конечным
количеством знаков после запятой (конечные приближения действительных чисел) из-за
конечности длины мантиссы при представлении действительного числа в памяти ЭВМ.
Другими словами, в вычислениях присутствует машинная погрешность (округления) . Это приводит к вычислительным эффектам, неизвестным,
например, в классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений,
уравнений математической физики или в математическом анализе.

3. В вычислительной практике большое значение имеет обусловленность задачи, т. е.
чувствительность ее решения к малым изменениям входных данных.

Заключение:

Вычислительная математика
является одной из основных инженерных дисциплин. Это связано с тем, что далеко
не все задачи можно решить аналитически. В связи с этим для получения решения
необходимо использовать иные методы, которые позволяют найти некоторое
приближение к решению.

Настоящая работа
посвящена изучению численных методов решения различных инженерных задач. В
процессе выполнения работы были решены следующие задачи:

1. Обзор численных методов решения нелинейных уравнений,
систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений, методов интерполирования
функций, методов численного интегрирования функций, методов решения систем
дифференциальных уравнений, заданных в форме Коши;

2. Практическая реализация указанных методов различными
инструментальными способами.

Фрагмент текста работы:

1. Решение не
линейных уравнений

1.1. Постановка задачи

При решении многих
математических и практических задач возникает необходимость найти корни
нелинейного уравнения вида:

f(x) = 0 . (1)

Хорошо, если это
уравнение простого вида и для него есть приемлемые формулы решения! А если это
уравнение, например, трансцендентно и не имеет аналитического решения вообще!

Итак, нелинейные
уравнения можно разделить на алгебраические и трансцендентные, которые кроме
алгебраических функций содержат, например, логарифм или экспоненту.

Для простых уравнений
можно применить прямые методы, позволяющие записать корни в виде некоторых
конечных соотношений. В остальных случаях для нахождения корней прибегают к
итерационным методам, которые от шага к шагу приближают нас к решению, хотя
практически никогда мы не можем получить точного решения. Т.е. итерационные
методы (и мы идем на это умышленно!) получают решение с какой-то, заранее
заданной точностью.

Таким образом, решение
уравнений (1) при этом осуществляется в два этапа :

1) определение
местоположения, характера интересующего нас корня и выбор его начального
значения;