Курсовая теория на тему Теорема Хилле—Иосиды

Содержание:

Введение. 1

1 Полугруппы операторов в
банаховом  пространстве. 6

1.1Сильно непрерывные
полугруппы.. 6

1.2 Генераторы полугрупп. 7

2
Спектральные свойства генераторов полугрупп. 12

2.1 Определение
и элементарные свойства максимальных монотонных операторов. 12

2.2
Теорема  Хилле - Иосиды.. 18

Заключение. 24

Список
использованной литературы.. 26

Введение:

Огромное
число физических, геометрических, вероятностных задач приводят к построению и
исследованию решений уравнений с частными производными, причем важнейшую роль в
таких исследованиях играют идеи и методы функционального анализа.

Теория
однопараметрических полугрупп преобразований берет свое начало, как полагают, в
1936 году в статье Хилле, где были рассмотрены некоторые специальные
полугруппы.

Впервые
понятие полугруппы появилось в 1904 году в монографии Сеге по теории абстракных
групп. В1938 году Секефальви - Надь и Хилле независимо друг от друга получили
результаты по представлению полугрупп ограниченных самосопряженных операторов в
гильбертовом пространстве. Значительно раньше появилось понятие группы[1].

В
1903 году Адамар заметил, что задача Коши для волнового уравнения приводит к некоторым
группам преобразований. При этом из групповых свойств вытекают определенные
теоремы сложения, которым подчиняются элементарные решения (функция Римана,
функция Грина, т.д.), служащие для построения решения задачи Коши, и обратно,
эти теоремы сложения в свою очередь обусловливают групповые свойства.

В
тех задачах, которые изучал Адамар, фигурировали уравнения гиперболического
типа, описывающие явления обратимого характера, поэтому там возникали именно
группы преобразований в случае уравнений параболического типа, соответствующих
необратимым явлениям, вместо групп появляются полугруппы. Адамар обнаружил, что
групповые свойства являются следствием принципа научного детерминизма: «Зная
состояние физической системы в момент времени , можно определить ее состояние в более
поздний момент

Начиная
с 1949 года Хилле  под влиянием работ
Иосиды стал заниматься задачей Коши, применяя методы теории полугрупп. Им были
сформулированы первые теоремы существования решений задачи Коши с
неограниченным оператором, а в банаховом пространстве в терминах теории
полугрупп операторов.

Возможности
нового подхода заинтересовали Феллера. Совместно со своими учениками он внес
большой вклад в теорию, в частности, ими были проведены глубокие исследования
сингулярной краевой задачи для уравнения диффузии.

Существенный
шаг вперед в общей теории был сделан в работе Като, где была получена теорема о
существовании решения задачи Коши для уравнения с переменным неограниченным оператором Параллельно
с этими исследованиями Хилле, а затем Филлипс, начинают строить теорию абстрактной
задачи Коши для уравнений в банаховом пространстве.

Таким
образом, полугруппы, появившись как некий результат изучения дифференциальных
уравнений и став инструментом их исследования, затем, по мере накопления
полугрупповой техники, способствовали появлению и развитию теории абстрактной
задачи Коши.

Актуальность темы

В
работе рассмотрено теорему Хилле—Иосиды, ее доказательство, значимость,
следствия. Важность состоит в следующем:

Во-первых,
задачи для дифференциально-операторных уравнений традиционно исследуются
методами функционального анализа. Так, на первом этапе своего становления (в банаховых
пространствах) теория дифференциально-операторных уравнений оказалась
неразрывно связанной с теорией полугрупп, первое применение которой к дифференциально-операторным
уравнениям восходит к фундаментальным работам К. Иосиды и Э. Хилле

В
настоящее время наряду с теорией полугрупп существуют также методы спектральной
теории операторов и теория фундаментальных оператор - функций вырожденных
интегро-дифференциальных операторов, в совокупности позволившие придать теории
дифференциально-операторных уравнений в нормированных пространствах глубокое и всестороннее
развитие.

Во-вторых,
теория дифференциально-операторных уравнений в ненормированных (локально
выпуклых) пространствах является значительно менее развитой.

Отчасти
этому способствует отсутствие в таких пространствах единых (как, например,
теория полугрупп) приёмов исследования уравнений или их систем достаточно
сложной конструкции. Это, в свою очередь, объясняется проблематичностью, а
порой и невозможностью прямого перенесения уже существующих методов с нормированных
пространств на ненормированные.

Известные
сейчас результаты относятся, преимущественно, к уравнениям первого порядка в классе
вектор - функций действительного аргумента для дифференциально-операторных
уравнений соболевского типа — в работах В. Е. Фёдорова[3].

В
комплексном же случае такие задачи стали рассматриваться лишь в последнее
десятилетие.

Однако
методы исследования аналитической задачи Коши для систем
дифференциально-операторных уравнений, краевых задач для дифференциально-операторных
уравнений с комплексными аргументами, а также аналитической задачи Коши для
некоторых разновидностей дифференциально-операторных уравнений в локально
выпуклых пространствах разработаны не были.

Целью
работы является рассмотрение основанных на применении теории порядка и типа
оператора в локально выпуклых пространствах методов исследования полученных в явном
виде решений различных аналитических задач для дифференциально-операторных
уравнений и их систем, включающая:

1)
описание посредством операторных характеристик вектора классов элементов
локально выпуклого пространства, для которых поставленные задачи однозначно разрешимы
в классе аналитических функций;

Заключение:

Одним
из важных направлений современной математики является исследование операторных
уравнений.

Операторный
подход позволяет исследовать довольно широкий класс уравнений. Различные виды уравнений,
такие как линейные и нелинейные дифференциальные уравнения, интегральные,
интегро-дифференциальные и функциональные уравнения можно трактовать как
абстрактные операторные уравнения и применять к ним методы функционального
анализа и теории операторов, которые позволяют эффективно исследовать не только
вопросы существования и единственности, но и алгоритмы нахождения приближенных
решений.

Начало
теории дифференциально-операторных уравнений в банаховом пространстве положено
в работах Э. Хилле и К. Иосида, в которых получены первые теоремы существования
решения задачи Коши с автономным линейным неограниченным оператором в терминах
теории полугрупп операторов.

В
дальнейшем Т. Като развил теорию полугрупп для установления существования
решения задачи Коши с переменным линейным неограниченным оператором.

Интенсивные
исследования по изучению задачи Коши для дифференциально-операторных уравнений
проводятся Воронежской математической школой.

Основные
результаты этих исследований представлены в монографии С. Г. Крейна .

Однако
вопрос о разрешимости задачи Коши для линейных и квазилинейных дифференциально-операторных
уравнений в функциональных пространствах, являющихся аналогом пространств
Соболева остается открытым.

В
работе были рассмотрены многопараметрические полугруппы двух типов
(мультипликативные и покоординатного ) и резольвентные операторы, связанные с
такими полугруппами. Доказано теорему Хилле - Иосида в терминах резольвентных
операторов.

Даны
определения и простейшие свойства непрерывных полугрупп операторов в  банаховом пространстве. Критерий существования
полугруппы в банаховом пространстве. Определение и простейшие свойства
непрерывных групп операторов в банаховом пространстве, связь с полугруппами.

Центральным
понятием в теории полугрупп операторов является понятие генератора полугруппы.
Генератором полугруппы или инфинитезимальным производящим оператором полугруппы называется оператор где
область определения

определяется как множество таких
элементов, что данный предел существует.

Генератор
полугруппы есть линейный, вообще говоря, неограниченный оператор. Если
полугруппа сильнонепрерывна, то область определения генератора является плотной
в

, а сам генератор есть замкнутый
оператор.

 С другой стороны не каждый замкнутый, плотно
определенный оператор является генератором полугруппы. Генератор однозначно
определяется по полугруппе; генератор однозначно определяет полугруппу, если
она сильнонепрерывна.

Линейный
оператор

в пространстве

порождает равномерно непрерывную
полугруппу тогда и только тогда, когда

является ограниченным оператором. Отсюда
следует, что в конечномерных пространствах все полугруппы являются равномерно
непрерывными.

Фрагмент текста работы:

1 Полугруппы операторов в банаховом  пространстве

1.1Сильно непрерывные полугруппы

Полугруппа
линейных ограниченных операторов , действующих в банаховом пространстве называется сильно непрерывной (или -полугруппой), если (1)

Предел рассматривается не по операторной
норме, а по норме пространства Теорема
1

Пусть ) сильно непрерывная
полугруппа в , тогда существуют числа
ω ≥ 0 и такие, что ≤ M

(0 ≤ t ≤ ). (2)

Докажем, что ограничена при 0, 1].

Предположим противное, т. е. существует
последовательность ↓

∈ [0, 1] такая, что → ∞.

Положим в силу полугруппового свойства = ≤

.

Т.к. ограничена, то → ∞ при С другой стороны,

→ для в силу (1).

По теореме Банаха -Штейнгауза существует такое , что < C.

Таким образом ограничены

при , т. е. существует
число такое, что ≤ M Так как = 1, то M ≥ 1.

Любое можно
представить так: где ∈ [0, 1).

Положим = Тогда = Теорема
2

Пусть - сильно непрерывная полугруппа, тогда является
непрерывной функцией из в при любом 1. Непрерывность
справа.

Пусть , ≤ ≤ M → 0 при 2. Непрерывность
слева.

Пусть , ≤ ≤ M → 0 при Сильно непрерывная полугруппа сильно
непрерывна в любой точке [5].

1.2 Генераторы полугрупп

Теорема 3

Пусть T (t) - -полугруппа с генератором A.

 Тогда

a) ); (3)

b) и (4)

c) и ; (5)

d) = = (6)

a) Следует из
сильной непрерывности полугруппы .

Действительно, при b)
Пусть

,

тогда Откуда
следует b).

c) Пусть Рассмотрим
правую производную: = Т.
е. и Пусть ,

докажем,
что левая производная дает тот же результат Первая
норма стремится к нулю по определению генератора, вторая в силу сильной
непрерывности полугруппы[4].

Итак,