Курсовая теория на тему Производная по направлению и градиент

Содержание:

Введение................................................................................................. 3

Теоретическая часть............................................................................... 4

Дифференцируемость функции нескольких переменных................... 4

Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности............ 5

Производная по направлению и градиент функции нескольких переменных....................................................................................................................... 5

Производная высших порядков.......................................................... 7

Экстремум функции нескольких переменных.................................... 9

Практическая часть............................................................................... 13

Общая схема методов спуска............................................................ 13

Градиентные методы......................................................................... 14

Минимизация функции градиентным методом............................ 14

Метод наискорейшего спуска....................................................... 16

Метод Ньютона............................................................................. 17

Метод проекции градиента........................................................... 18

Заключение........................................................................................... 20

Список использованных источников.................................................... 21

Введение:

Дифференциальное исчисление считается одним из наиболее
важных и сложных разделов высшей математики. Важность этого раздела заключается
в том, что практически все процессы в нашей жизни можно описать с помощью
систем дифференциальных уравнений. Одними из основополагающих элементов
дифференциального исчисления являются понятия производной и градиента. Поэтому целью данной работы является
рассмотрение понятий градиента, производной по направлению и применение их для
решения конкретных задач.

Актуальность
работы заключается в том, что современный специалист обязан хорошо
ориентироваться дифференциального исчисления, уметь использовать информацию,
заложенную в таких величинах, как производная и градиент.

Объектом
исследования являются методы дифференциального исчисления.

Предметом
исследования являются градиент и производная по направлению.

Задачами
исследования являются:

1. Определение
понятия дифференцируемой функции;

2. Определение
понятия градиента;

3. Определение
понятия производной по направлению;

4. Решение
практических задач с использованием градиента и производной по направлению.

Заключение:

Данная работа была посвящена исследованию вопросов,
связанных с дифференцированием функций и использованию градиента и его проекции
на некоторое направление при решении практических задач.

В теоретической части изложены основные положения и теоремы
выявляющие свойства функций, их производных, понятия градиента и экстремума.
Приведены примеры, поясняющие теоретические выкладки.

В практической части решены конкретные задачи по минимизации
функции с использованием градиента и его проекций.

Задачи, поставленные в начале исследования выполнены.

Фрагмент текста работы:

Теоретическая часть

Дифференцируемость функции нескольких переменных

Если в точке  аргументам функции  дать некоторые
приращения  и  то получим полное
приращение функции в точке , которое вычисляется по формуле

.

Пример. Пусть , , , . Тогда полным приращением функции в заданной точке будет Определение. Полным дифференциалом функции в точке  назовем выражение:

,

где  и  – постоянные, а  и  бесконечно малые при , или иначе: Если функция в некоторой точке
имеет полный дифференциал, то она является дифференцируемой в этой точке.

Теорема 1. Пусть функция   и  ее 
частные производные  и  непрерывны в некоторой
окрестности точки . Тогда функция  дифференцируема в т.  и ее полный
дифференциал равен сумме частных дифференциалов: . (1)

С помощью формулы (1) можно
вычислять приближенные вычисления функции. Для этого надо перейти к конечным
приращениям:

++. (2)

Уравнение касательной плоскости и нормали к
поверхности

Касательной плоскостью к
поверхности в её точке  называется
плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным на
поверхности через эту точку.

Если через данную точку провести
перпендикуляр к касательной плоскости то получим нормаль к поверхности в данной
точке, который обозначается  или .

Для функции двух переменных  перпендикулярен
касательной к линии равного уровня и его уравнение можно записать

А) для функции в неявном виде:

 (3)

Б) для функции в явном виде: (4)

Производная по направлению и градиент функции нескольких
переменных.

Рассмотрим скорость изменения
функции трех переменных при перемещении из точки  в направлении
единичного вектора , определяемого своими координатами
– направляющими косинусами: . Для этого рассмотрим прямую , проходящую через точку  с направляющим
вектором . Ее параметрические уравнения
имеют вид