Контрольная работа на тему Линейная алгебра

Фрагмент текста работы:

Задачи 6
Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найдите:
косинус угла ABD;
площадь грани ABC;
объем пирамиды ABCD.
A B C D
(1;5;2) (1;3;1) (2;1;1) (0;5;3)

Решение.
Найдем координаты векторов (BA) ⃗ и (BD) ⃗, для чего нужно вычесть координаты начальной точки из соответствующих координат конечной точки:
(BA) ⃗=(1-1;3-5;1-2)=(0;-2;-1),
(BD) ⃗=(1-0;3-5;1-3)=(1;-2;-2).
Вычислим длины каждого из найденных векторов, взяв квадратный корень из суммы квадратов координат:
BA=√(0^2+〖(-2)〗^2+〖(-1)〗^2 )=√5,
BD=√(1^2+〖(-2)〗^2+〖(-2)〗^2 )=3.
Найдем скалярное произведение рассматриваемых векторов, перемножая их соответствующие координаты и складывая получившиеся произведения между собой:
(BA) ⃗∙(BD) ⃗=0∙1+(-2)∙(-2)+(-1)∙(-2)=6.
Косинус угла ABD находим по формуле:
cos⁡〖∠ABD〗=((BA) ⃗∙(BD) ⃗)/(BA∙BD)=6/(√5∙3)=2/√5=(2√5)/5.
Площадь грани ABC есть половина длины векторного произведения векторов (BA) ⃗ и (BC) ⃗, первый из которых уже найден выше, а
(BC) ⃗=(1-2;3-1;1-1)=(-1;2;0).