Контрольная работа на тему Контрольная работа по дисциплине "Высшая математика"

Фрагмент текста работы:

 Вариант №2

Вычислить предел функции: 
〖lim┬(x→3)  〗⁡〖(x^2-9)/(x^2-2x-3)〗=lim┬(x→3)⁡〖 ((x-3)  (x+3))/(x-3)(x+1) 〗=lim┬(x→3)   (x+3)/(x+1)=6/4=3/2  .
Вычислить предел, используя правило Лопиталя: 

(lim⁡)┬(x→1)⁡〖(x^3-3x^2+2)/(x^3-4x^2+3)〗=(lim⁡)┬(x→1)  (3x^2-6x)/(3x^2-8x)=(-3)/(-5)=3/5  .

Вычислить производную функции:

y=cos2x/(1-sinx);

y^'=(-sin2x∙2(1-sinx)-cos2x(-cosx))/(1-sinx)^2 =(〖2sin〗^2 x-4sinx+1)cosx/(1-sinx)^2 .

Исследовать функцию и построить её график:
y=(x^2-1)/(x^2+1);
а) точки пересечения кривой графика функции с осями координат: 
x=0,      y=-1;      y=0,       x_1=1,      x_2=-1;   
A(0;-1),    B(1;0),    C(-1;0).
б) точки разрыва функции: функция не имеет точек разрыва. 
в) производная функции:

y^'=(2x(x^2+1)-(x^2-1)2x)/(x^2+1)^2 =4x/(x^2+1)^2   .
г) вторая производная функции: 
 
〖          y〗^''=(〖4(x^2+1)〗^2-4x∙2(x^2+1)∙2x)/(x^2+1)^4 =(4(x^2+1)-16x^2)/(x^2+1)^3 =(-12x^2+4)/(x^2+1)^3 ==4(1-3x^2 )/(x^2+1)^3   .
д) область возрастания функции: 

y^'>0;        4x/(x^2+1)^2 >0;     x>0.
е) область убывания функции: 
y^'<0;        4x/(x^2+1)^2 <0;     x<0.
ж) точка экстремума: 
y^'=0;    4x/(x^2+1)^2 =0;     x=0.    
y^'' (0)=4>0,  значит, точка экстремума – это точка минимума. 
з) область выпуклости функции: 
 
y^''<0;        4(1-3x^2 )/(x^2+1)^3 <0;     1-3x^2<0;
xϵ(-∞; -1/3)∪(1/3; +∞).
и) область вогнутости функции:
y^''<0;      xϵ(-1/3; 1/3). 
й) асимптоты функции: 
x→∞,      y→1;  
x→-∞,      y→1.
к) график функции: