Содержание:

Введение. 3

Глава 1. Теоретические основы формирования у младших школьников умения решать уравнения в начальном курсе математики по программе «Школа России». 6

1.1. Понятие уравнения в математике. 6

1.2. Понятие равносильных уравнений. 10

1.3. Основные подходы к изучению уравнений в начальной школе. 15

1.4. Содержательно-методическая характеристика начального курса математики по программе «Школа России». 26

Выводы по Главе 1. 26

Глава 2. Методические аспекты формирования у младших школьников умения решать уравнения в начальном курсе математики по программе «Школа России»  30

2.1. Методика формирования у младших школьников умения решать уравнения в начальном курсе математике по программе «Школа России». 33

2.2. Описание опытно-экспериментальной работы по определению результативности методики формирования у младших школьников умения решать уравнения в начальном курсе математики по программе «Школа России». 50

Выводы по главе 2. 54

Заключение. 54

Библиографический список использованных источников и литературы.. 63

Приложения. 68

Введение:

Линия уравнений и неравенств является стержнем алгебраического материала школьного курса математики. Изучение уравнений в начальной школе носит пропедевтический характер. Поэтому очень важно подготовить детей в начальной школе к более глубокому изучению уравнений в старших классах. В начальной школе в процессе работы над уравнениями закрепляются правила о взаимосвязи части и целого, сторон прямоугольника с его площадью, формируются вычислительные навыки и понимание связи между компонентами, закрепляются порядок действий и формируются умения решать текстовые задачи, идет работа над развитием правильной математической речи. На уроках закрепления уравнения позволяют разнообразить виды заданий.

В настоящее время вопрос о важности изучения данного понятия в начальной школе уже давно решен, известны работы М.И. Моро, М.А. Бантовой, Н.Б. Истоминой, И.И. Аргинской, З.Б. Редько, И.И. Целищевой и др. Между тем, следует отметить, что  в методике изучения уравнений до сих пор  единого подхода нет. Ряд программ начинают изучать уравнения уже с 1 класса, но существуют сторонники и более позднего изучения (4 класс).

Кроме того, существенно отличаются и способы решения уравнений, изучаемые в различных программах. Традиционными являются подбор и способ решения, основанный на установлении взаимосвязи между компонентами и результатами арифметических действий. Помимо этого используются графические модели, таблицы сложения и умножения, числовой ряд и т.п.

Начальный курс математики, разработанный авторским коллективом под руководством М.И. Моро, существует более 50 лет. Это проверенная и подтвержденная годами методика. Поэтому, на наш взгляд, каждый учитель, не зависимо от того, по какой программе он обучает детей, должен знать ее основы и особенности.

Цель работы заключается в исследовании методики формирования у младших школьников умения решать уравнения в начальном курсе математики по программе «Школа России».

Объект исследования: процесс формирования у младших школьников умения решать уравнения в начальном курсе математики.

Предмет исследования: методика формирования у младших школьников умения решать уравнения в начальном курсе математики по программе «Школа России».

Гипотеза исследования: формирование у младших школьников умения решать уравнения в начальном курсе математики по программе «Школа России»  будет успешным, если:

1) процесс обучения осуществлять с учетом основных методических подходов, реализуемых в рамках программы;

2) опираться на систему упражнений, направленную формирование у младших школьников умения решать уравнения, разработанную авторами программы по математике УМК «Школа России».

Задачи исследования:

1.     Рассмотреть понятие уравнения в математике.

2.     Дать понятие равносильных уравнений.

3.     Описать основные методические подходы к изучению уравнений в начальном курсе математики.

4.     Дать содержательно-методическую характеристику начального курса математики по программе «Школа России».

5.     Раскрыть особенности методики формирования у младших школьников умения решать уравнения в начальном курсе математики по программе «Школа России» и проверить ее результативность в ходе выполнения опытно-экспериментальной работы.

Заключение:

В ходе решения поставленных в исследовании задач были достигнуты следующие результаты.

Рассмотрены понятия уравнения, равносильных уравнений в математике.

Описаны основные методические подходы к изучению уравнений в начальном курсе математики.

Дана содержательно-методическая характеристика начального курса математики по программе «Школа России».

Рассмотрены особенности методики изучения уравнений в начальном курсе математики по программе «Школа России».

В первой главе выпускной квалификационной работы были поставлены и решены следующие задачи:

1. Раскрыто понятие уравнения в математике.

Раскрыв сущность понятия «уравнение» в школьном курсе математики можно сказать о том, что под уравнением в математике понимается, вид равенства с неизвестной величиной, которая чаще всего обозначается латинской буквой. При этом числовое значение данной буквы, позволяющее получить верное равенство, называется корнем уравнения.

2. Дано понятие равносильных уравнений.

Чтобы решить какое-либо уравнение, его сначала преобразовывают, заменяя другим, более простым. Полученное уравнение опять преобразовывают, заменяя более простым, и т.д. Этот процесс продолжают до тех пор, пока не получают уравнение, корни которого можно найти известным способом. Но чтобы это стало возможным, необходимо, чтобы в процессе преобразований получились уравнения, множества корней которых совпадают. Такие уравнения называют равносильными.

3. Описаны основные методические подходы к изучению уравнений в начальном курсе математики.

Сегодня выделяют два методических подхода к изучению уравнений в начальном курсе математики: традиционный и развивающего обучения.

В традиционных программах авторы указывают на то, чтобы учащиеся освоили необходимую терминологию и те правила, которыми они будут пользоваться для решения уравнений, и только после этого приступали к работе с уравнениями.

Задачи обучения в данной теме:

- сформировать у учащихся представление об уравнении на уровне узнавания;

- сформировать умение понимать смысл задания «решить уравнение»;

- научить читать, записывать, решать уравнения той сложности, которая определена программой;

- научить решать задачи с помощью уравнений (алгебраический способ решения).

Авторы развивающего обучения Д.Б. Эльконин и В.В. Давыдов, предлагают знакомить учащихся с понятием уравнение с самого начала обучения математики, но при этом, не используя взаимосвязи между компонентами и результатами арифметических действий.

Анализ учебников по математике показывает, что уровень сложности упражнений, предлагаемых нетрадиционными учебниками, более высокий.

Кроме того, в альтернативных программах дети обучаются решению задач способом составления уравнений, что не предполагается традиционной программой.

4. Дана содержательно-методическая характеристика начального курса математики по программе «Школа России».

В соответствии с программой по математике, разработанной авторским коллективом под руководством М.И. Моро, в начальной школе  рассматриваются уравнения первой ступени с одним неизвестным.

В 1 классе осуществляется подготовка учащихся к усвоению понятия уравнения, но термин не вводится.

Фрагмент текста работы:

Глава 1. Теоретические основы формирования у младших школьников умения решать уравнения в начальном курсе математики по программе «Школа России»

1.1. Понятие уравнения в математике

В методической и специальной  литературе в течение длительного времени велась дискуссия по вопросу, что такое уравнение. Были предложены различные трактовки этого понятия, которые по существу приписывают термину «уравнение» различные смысловые значения. Поэтому неправомерно утверждать о правильности или неправильности того или иного подхода. Можно лишь говорить об его педагогической целесообразности или нецелесообразности.

Известна точка зрения, согласно которой тождество как равенство, справедливое (верное) при всех допустимых значениях входящих в него букв, противопоставляется уравнению как равенству, справедливому не при всех допустимых значениях букв - неизвестных.

Если принять эту точку зрения, нельзя ответить на вопрос, что представляет собой запись «f(x) = у(х)» (уравнение или тождество), не выяснив, при всех или не при всех допустимых значениях неизвестного х имеет место равенство. Если дано, например, уравнение ах = b, то, согласно данной точке зрения, при а¹0 это - уравнение, а при а = b = 0 - уже не уравнение, а тождество.

Известна другая точка зрения, согласно которой тождество не противопоставляется уравнению, а трактуется как его частный случай, причем уравнение рассматривается как равенство значений двух функций.

Равенство f(x) = у(x) может оказаться верным при всех допустимых значениях неизвестного х, и тогда это уравнение - тождество. Оно может быть верным только при некоторых (не при всех) значениях неизвестного, называемых корнями уравнения, но, возможно, что не найдется, ни одного значения неизвестного, удовлетворяющего этому равенству. В последнем случае говорят, что уравнение не имеет корней (решений). Но существует ли само уравнение, если под ним понимать равенство, а последнее не имеет места ни при каких допустимых значениях неизвестного?

В этой, как и в предыдущей трактовке трудности возникают по существу из-за двусмысленности термина «равенство», фигурирующего в определении уравнения. Термином «равенство» обозначают:

а) отношение равенства, понимаемое как совпадение, представляющее собой отношение эквивалентности (рефлексивное, симметричное и транзитивное);

б) предложение о равенстве как синтаксическое образование, содержащее знак «=», которое, разумеется, может оказаться истинным или ложным (верным или неверным равенством).

Известна также точка зрения, согласно которой уравнение - это не само равенство, а лишь вопрос о существовании значений неизвестного, при которых имеет место равенство. Принятие этой точки зрения также приводит к трудностям. В соответствии с ней запись s =  не представляет собой уравнения, пока не поставлен вопрос о существовании значений «неизвестных», при которых имеет место равенство, вместе с тем, физики говорят, что это - «уравнение свободного падения тел».

Точка зрения на уравнение как на «вопрос» по существу отождествляет понятия «уравнение» и «решить уравнение». Действительно, решить уравнение - значит ответить на вопрос, существуют ли (а если существуют, то сколько и какие) значения неизвестного (или неизвестных), которые удовлетворяют уравнению. Но при этом вопрос о том, что такое само уравнение, остается открытым.

Совершенно очевидна нецелесообразность такой трактовки, так как в ней содержание понятия уравнения не раскрывается.

Первое разъяснение понятия уравнения в учебнике Н.Я. Виленкина для 4 класса средней школы дается следующим образом: «Равенство, содержащее неизвестное число, называют уравнением. Найденное значение неизвестного числа называют корнем уравнения. Решить уравнение - значит найти все его корни».

Однако замена понятия переменной «неизвестным числом» приводит к трудностям. Например, решая уравнение f(x) = g(x) графически, пользуются графиками функций f(x) и g(x). Здесь х уже переменная. Кроме того, не совсем ясно, что такое «значение числа» (пусть пока и неизвестного).

Традиционная практика преподавания показывает, что учащиеся могут научиться решать уравнения и, не зная, что такое уравнение. Но какова ценность такого «умения»? Дело сводится к усвоению отдельных алгоритмов для решения уравнений некоторых типов. Отсутствие же общего определения и эффективно построенного на его базе учения об уравнениях лишает учащихся возможности использовать знания при решении новых типов уравнений и творческого поиска алгоритмов их решения.

Трудности, возникшие в связи с поисками целесообразного, эффективного толкования понятия уравнения, обусловлены тем, что это понятие стремились свести только к собственно математическому. Эти трудности снимаются, если выйти за рамки собственно математических объектов в их классическом понимании и использовать для трактовки понятия уравнения средства математической логики, в частности понятие логической функции (предиката).

Рассмотрим понятие уравнения с этой точки зрения.